О ПОВРЕЖДЕНИЯХ, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ ПАДЕНИИ С ДВИЖУЩЕГОСЯ ТРАНСПОРТА.

(физико-математический анализ вопроса)

© Волегов Александр Иванович

Контакт с автором: 127422, ул. Дубки, № 13, кв. 24

Тел.: (095) 977-55-64

Статья имеет отношение к проблемам судебно-медицинской экспертизы. Проведен на физико-математической основе анализ условий возникновения повреждений и их тяжести при падении с движущегося транспорта. Значительное внимание уделено критике имеющихся в литературе ошибочных представлений по этому вопросу.

Вопрос о повреждениях, возникающих при падении с движущегося транспорта, с физико-математических позиций в литературе освещен очень мало. Попытку такого анализа в руководстве проф. Райского М. И. “Судебная медицина” (1953 года издания), на 334-й, 1935-й страницах, следует признать неудачной, так как исходные предпосылки, приведенные вычисления и, соответственно, сделанные выводы являются неверными. Ошибочность своих представлений признал и сам проф. М. И. Райский*, однако соответствующих поправок к его руководству, что в принципе необходимо, практически до сих пор опубликовано не было**.

Так автор отмечает, что решающее для возникновения повреждений имеет не высота падения, а скорость движения транспорта. Пользуясь формулой V² = 2qS, где S, по мысли автора, путь, проходимый в 1 сек., а V – скорость тела в момент соприкосновения с землей, он делает выводы, что: падение с поезда, движущегося со скоростью 10 м/сек., равнозначно падению с высоты в 14 метров; падение с трамвая, движущегося со скоростью 1,0 метр в сек., равнозначно падению с высоты в 9,7 метров; человек, бегущий со скоростью 2 метра в сек., ударится (видимо, имеется ввиду о вертикальное препятствие) с такой же силой, как и при падении с высоты в 6 метров.

Но, во-первых, формулы, c указанным значением для S, вообще не существует. Но есть такая формула, где S просто путь, а v – конечная скорость равномерно ускоренного движения при начальной скорости, равной нулю и ли начальная скорость равномерно замедленного движения при конечной скорости равной нулю. При этом q, соответственно, ускорение или замедление.

Во-вторых, совершенно неправильно говорить, что для возникновения повреждений решающее значение имеет не высота падения, а скорость движения транспорта. По закону независимости составляющих векторов скоростей, скорость движения по инерции не будет зависеть от высоты падения, а только целиком от скорости движения транспорта в момент начала падения (она будет равна, без учета сопротивления воздуха, скорости этого движения); скорость же свободного падения будет тем больше, чем с большей высоты будет падать тело, т. е. чем больше будет путь S до поверхности падения в указанной формуле V² = 2qS. В результате, чем больше высота падения с движущегося предмета, тем больше будет и результирующая скорость. Эта скорость будет существенно различной при падении с подножки движущегося вагона или с его крыши. Так что указанная посылка автора явно неверна .

В-третьих, приведенная автором формула V² = 2qS относится только к равнопеременному движению. Поскольку, как мы уже отметили, S в ней не путь, проходимый в 1 сек. (как указано у автора), а просто путь, то вместо S подставлять сюда 10 м/сек., взятые из равномерного движения и к тому же являющиеся скоростью, никак нельзя. Правильно же приведенные в руководстве примеры решаются следующим образом:

Поезд движется со скоростью 36км/час, что соответствует 10 м/сек. Тело падает, допустим, с подножки, т. е. с высоты, примерно, 0,5 м. Прежде всего нужно найти какую скорость приобрело бы тело к моменту удара о землю, если бы поезд стоял. По формуле V_п² = 2qS, где S – известный нам путь 0,5 м, пройденный телом; q – ускорение свободного падения, равное 9,8 м/сек² или округленно 10,0 м/сек², V_п – искомая скорость падения в момент соприкосновения с землей. Следовательно, квадрат скорости падения тела в момент удара его о землю равна V_п² = 2х10х0,5 = 10. Откуда V_п = 3,33 м/сек ~ 3,3 м/сек. Далее, скорость движения падающего тела по инерции V_и равна скорости поезда в момент начала падения, т. е. 10 м/сек. Находим результирующую скорость в момент соприкосновения падающего тела с землей. Это можно сделать математически: V_p² = V_п² + V_и² = 10 + 100 = 110. Отсюда V_р = 10,49 м/сек ~10,5 м/сек.

А также графически: Масштаб 1 : 100.

Таким образом, в момент соприкосновения с землей при падении с высоты 0,5 метров вертикальная составляющая скорости равна 3,3 м/сек, а результирующая скорость при движении поезда со скоростью 10 м/сек будет равна 10,5 м/сек, а не 14 м/сек, как у профессора Райского. Падение в данном случае не будет равнозначно падению с высоты 14 метров (или, как указано, с высоты трехэтажного дома); а будет равнозначно высоте S = V²/2q = 110/20 =5,5 метров (т. е. не более чем двухэтажного дома). Это соответствует тому, что взятая профессором М. И. Райским скорость движения поезда 10 м. сек. небольшая и достигается даже человеком, небольшая и высота падения с подножки вагона поезда.

При падении с крыши движущегося вагона (скажем с высоты в 3,5 метра) скорость свободного падения по достижении земли: = 8,37 ~ 8,4 м/сек. По сравнению с горизонтальной составляющей скоростью уже разница меньшая. Соответственно, б`ольший вклад, как это понятно, и в результирующую скорость, квадрат которой равен V<sub>p</sub><sup>2</sup> = V<sub>п</sub><sup>2</sup> + V<sub>и</sub><sup>2</sup> = 70 + 100 = 170. Отсюда, извлекая корень из 170, находим, V<sub>p</sub> = 13,04 ~ 13,0 м/сек, т. е. также уже существенно б`ольшая, по сравнению с предыдущими примерами.

То же находим графически:

Масштаб тот же.

Как видно из графика, в этом примере, наряду с существенным увеличением вертикальной составляющей и результирующей скоростей увеличивается угол последней с плоскостью падения, что также увеличивает силу удара.

Изложенное свидетельствует о том, что утверждение проф. М. И. Райского:

“Решающее значение для возникновения повреждений имеет не высота падения, а скорость движения транспорта” также не отвечает действительности.

Аналогично для примера в учебнике проф. Райского с трамваем, движущимся со скоростью 5 м/сек, при высоте падения S = 0,25 м, находим: V_п² = 2qS = 2x10x0,25 = 5. Отсюда V_п = 2,24 м/сек.~ 2,2 м/сек. Квадрат результирующей скорости V_p² = V_п² + V_и² = 5 + 25 = 30. V_p = 5,48 ~ 5,5м/сек. То же находим графически.

Аналогично первому примеру, находим. При отсутствии движения для того, чтобы тело к моменту достижения земли достигло такой скорости, оно должно упасть с высоты S = V_p²/2q = 30/2x10 = 1,5 м. А не с высоты 9,7 метра, как пишет профессор М. И. Райский.

Следует учесть, что при отсутствии движения сила удара о землю с высоты 5,5 метра (первый пример) и с высоты !,5 метра (последний пример) будет больше, чем, соответственно, с подожки поезда, движущегося со скоростью 10 м/сек и с подножки трамвая, движущегося со скоростью 5 м/сек., так как при падении с движущегося предмета результирующая скорость направлена под углом к поверхности земли, что смягчает удар. Подчеркнем, что речь идет о скоростях, равных по величине при соприкосновении с плоскостью падения. Это совсем не значит, что при одинаковой высоте падения сила удара при движении будет меньше, чем при отсутствии движения; напротив, как это понятно из изложенного, в первом случае сила удара всегда будет большей.

При падении с движущегося предмета результирующая скорость V_p направлена под углом к поверхности земли тем меньшим, чем больше скорость движения (как это водно из графических построений). Причем сила удара о поверхность земли при прочих равных условиях будет тем большей, чем больший угол результирующая скорость составляет с горизонтальной плоскостью. Поэтому сила удара при падении с подножки движущегося вагона будет существенно меньше, чем при падении с его крыши, не только за счет меньшей результирующей скорости, но, как видно из сравнения первого и второго графика, за счет меньшего угла падения в первом случае. Или, иначе говоря, сила удара о поверхность земли при падении с движущегося предмета будет находиться в прямой зависимости от тангенса и синуса этого угла и в обратной зависимости от его котангенса и косинуса.

Известно, что люди, владеющие техникой спрыгивания на ходу с поездов, стремятся прыгать в сторону движения и под откос (физическое оправдание этому в уменьшении угла падения). Причем поджимают под себя руки и ноги (свертываются клубком) и отдаются на волю судьбы.

В примере руководства с идущим человеком допускаем, что он внезапно наталкивается, будем считать головой, на твердое вертикальное препятствие (например, стену). Силу удара в принципе в этом случае можно вычислить по формуле для импульса силы: Ft = mv’ – mv”, где F – сила удара, t – время его действия, mv – количество движения, m – масса человека, v’- скорость в момент соприкосновения со стеной, равная 2 метра, v” – конечная скорость, которая, если стена осталась неподвижной, равна нулю.

Время от момента соприкосновения со стеной до полной остановки (реально затраченное на деформацию тканей человека, т. е. собственно на травму) условно возьмем 0,01 сек., массу человека 60 кг. Тогда сила удара F = mv’/t = 60х2/0,01 = 1200 ньютон/сек = 12000 кГ/9,8 сек ~ 1200 кГ/сек. Следовательно удар может быть достаточно сильным для причинения травмы.

Но эффект травматизации (ЭТ) находится в прямо пропорциональной зависимости от удельной плотности силового воздействия (Р), т. е. от F/Q, где Q – площадь соприкосновения тела с поверхностью. Поскольку в процессе взаимодействия тела со стеной, Q в некоторых пределах меняется, правильнее под таким обозначением понимать среднюю площадь соприкосновения. Таким образом, ЭТ = кР = кF/Q, где к некоторый коэффициент, зависящий от конкретных дополнительных условий (толщины жировой прокладки, плотности и эластичности тканей, свойств одежды и др.). Однако величина коэффициента к не всегда имеет решающее значение и поэтому грубо в значительной части случаев его можно принимать равным единице. Вообще вопрос о коэффициенте к нуждается в специальной разработке.

В приведенном примере, если средняя площадь соприкосновения Q с твердой (практически недеформирующейся) стеной была равна 5 см. кв. (что соответствует участку 2,23 х 2,23 см), то ЭТ = кР = кF/Q =к1200/5 = к240 кГ/см² сек ~ 240 кГ/см² сек (при к близком к еденице). Эти более конкретизированные расчеты показывают, что в приведенной, достаточно реальной ситуации плотность силового воздействия Р и, соответственно, эффект травматизации ЭТ являются достаточными, чтобы вызвать повреждение. Если человек одновременно наталкивается многими частями тела и Q, следовательно, больше, то и эффект травматизации будет меньше. Возьмем в приведенном примере площадь соприкосновения Q = 100 см², что соответствует области тела 10 см х 10 см. тогда полученное значение для ЭТ при ударе уменьшится в 20 раз, т. е. будет равным 12 кГ/см²сек. Вряд ли можно с уверенностью утверждать, что следствием такого эффекта травматизации может быть существенное повреждение.

Если же имеется ввиду падение на землю (например человек споткнулся), то здесь необходимы уже более сложные расчеты, так как части тела, начиная с головы будут падать с различной высоты и при этом описывать дуги, радиус которых будет уменьшаться по направлению к точке опоры. В настоящей работе мы не ставим себе целью выполнение этой сложной задачи. Однако подчеркнем, что, разумеется, и в этом случае сохраняет свое значение для ЭТ принцип плотности ударного силового воздействия кР.

Чтобы вычислить конкретную силу удара в приведенных первых трех примерах (в двух при падении с вагона движущегося поезда и в одном при падении с подножки движущегося трамвая) следует исходить из сложения вертикального и горизонтального векторов силы (соответственно, F’ и F”), составляющих искомую результирующую силу. Для этого можно пользоваться той же формулой для импульса силы. Для вертикальной составляющей имеем: F’t = mv_рsin a - mv_кв, где a - угол падения, sin a – синус этого угла, v_p sin a = v_п - как и в приведенных выше примерах, скорость свободного падения с данной высоты в момент соприкосновения с поверхностью падения (например, с землёю), mv_psin a = mv_п – соответствующее количество движения.

v_кв – по определению конечная вертикальная составляющая скорости в определенное время t после соприкосновения тела с поверхностью падения (напр. с землей). Но t в рассматриваемых случаях должно соответствовать времени от соприкосновения тела с поверхностью падения до его остановки. При этом условии v_кв, как и соответствующее количество движения mv_кв, равны нулю.

Продолжая преобразования дальше получаем: F’ = mq’, так как v_п/t =q’, где q’- замедление движения тела с момента его соприкосновения с поверхностью падения. Если поверхность падения твердая, то t мало и F’ велико (например для t = 0,01 cек. F’ = 100mv_п); если мягкая, то t велико и F’, соответственно, мало (например, для t = 0,5 сек. F’ = 10 mv_п/5 = 2mv_п, т. е. меньше в 50 раз). Соответственно, относительно велико и относительно мало замедление q’. Из формулы: v_п² = 2qS, где обозначения те же (v_п - вертикальная составляющая скорости падения с движущегося транспорта в момент соприкосновения с поверхностью падения, q – ускорение свободного падения, S – высота падения) легко находим v_п.

Однако человек падает с движущегося транспорта и, при отсутствии вертикальной твердой стены препятствия, движется по ходу поезда, как до достижения поверхности падения, так, при определенных условиях, и после этого момента. Это явление имеет место, если тело преодолевает, так называемую, силу трения скольжения. Сила трения скольжения находится в плоскости падения и противоположна направлению движения тела. По закону Амонтона, она пропорциональна давлению N тела на поверхность. Таким образом, для этой силы имеем: F” = fN, где f – коэффициент трения скольжения. Он обычно меньше коэффициента трения покоя для данных поверхностей и также зависит от их качества.

N – в наших случаях примерах в момент удара о поверхность равно его силе, т. е. F’ = mv_psin a/t = mv_п/f . Отсюда F” = f F’ = fmv_п/t.

Результирующую силу удара получаем из сложения векторов F’ и F”:

F = F’ + F” = mv_п/t + fmv_п/t. Представим то же графически для момента соприкосновения тела с плоскостью падения, принимая f =1, как теоретически предельный случай. Здесь:

Вертикаль – составляющая улара при свободном падении (F’ = mv_п/t).

Горизонталь – составляющая удара за счет силы трения, виду стремления тела в этот момент продолжать двигаться по инерции по ходу движения транспорта. Поскольку условно взята величина для f = 1, F” также равен mv_п/t.

Диагональ – направление результирующего вектора силы удара F. Её модуль равен корню квадратному из суммы квадратов модулей составляющих сил, т. е. при упрощенной записи

При f = 1/2 (что согласно справочному материалу, является гораздо большим приближением к реальности, чем f = 1) таким же образом находим: модуль вектора .

И графически:

Значение линий те же. Направление результирующего вектора к плоскости падения по сравнению с предыдущим вариантом, имеет б`ольший угол, что является фактором, увеличивающим силу удара.

Однако величина квадрата модуля этого вектора равна 1,5 v²(m/t)².

При коэффициенте f близком к нулю (например при падении на гладкий лед) сила удара определяется только вертикальной составляющей mv_п/t. Это наименьшая сила удара на данную поверхность, тогда как сила удара 1,41mv_п/t при коэффициенте трения скольжения равном 1, является наибольшей.

Следует также иметь ввиду, что сам коэффициент трения скольжения f зависит от скорости движения. Кроме того, если поверхность бугристая, то включается в той или иной мере рассмотренный выше эффект удара о вертикальную поверхность, находящийся в прямой зависимости от скорости движения. Вместе с тем, при всех условиях эффект травматизации, как и в примере с вертикальной стеной, находится в обратной зависимости от площади контакта с возникшим препятствием движению упавшему телу.

Учитывая все перечисленные факторы, влияющие на травматический эффект при падении, мы с б`ольшим основанием можем повторится, что именно ввиду изложенного была эмпирически выработана методика: при спрыгивании свертываться калачиком; прыгать под откос, чтобы при этом еще уменьшить угол падения; весьма желательно, чтобы поверхность падения была ровная и сыпучая.

После удара о поверхность падения тело может остановиться или двигаться с какой-то остаточной скоростью по инерции по направлению движения транспорта. Для второго из возможных вариантов необходимо преодоление силы трения скольжения (F_трск), которая, при приблизительно том же коэффициенте трения f, уже определяется не вертикальной составляющей силы удара о поверхность падения, а давлением собственного веса тела Р. Следовательно, можем записать: F_трск = fP. Если сила инерции (F_и) больше этой величина, то тело после падения будет продолжать движение по инерции под действием движущей силы (F_двс): F_дс = F_и - F_трск.

В этом случае воздействие на движущееся тело будет определяться F_трск = fP, направленной параллельно плоскости соприкосновения и противоположно двидению тела. При одних и тех же весе тела Р и коэффициенте f сила воздействия на еденицу площади соприкосновения (F’_трск) будет зависеть от размеров этой площади (S): F’_трск = fP/S. Отсюда видно, что, при прочих равных условиях: чем меньше будет площадь соприкосновения тела с поверхностью, тем больше будет сила воздействия на эту его область и тем большая вероятность возникновения добавочных (после удара) повреждений (царапин, ссаднений, срывов кожных покровов); чем меньше будет коэффициент трения скольжения, тем меньше вероятность таких повреждений (сравнить падение на гладкий лед и на неполированный бетон) и; наконец, чем больше будет вес падающего тела, тем больше при прочих равных условиях вероятность возникновения повреждений.и увеличения их тяжести.

Таков наш физико-математический анализ вопроса о повреждениях, возникающих при падении с движущегося транспорта. Полагаем, что он может иметь определенное практическое и научное значение. Вместе с тем, мы сознаем всю его неполноту, но более фундаментальных работ в этом направлении, насколько нам известно, на сегодня не имеется*** .

Примечания:

* О чем свидетельствуют письма проф. М. И. Райского, адресованные автору настоящей статьи.

** Мы направили статью по этому поводу в ж. “судебно-медицинская экспертиза”, которая была опубликована в № 3 за 1959 г,.Однако редакцией статья, в ущерб её информативности. была существенно сокращена и, кроме того, при перепечатке одной из ключевых формул были допущены грубые опечатки: вместо F = mV₁/t, напечатано нечто невообразимое: V₁ = 0 + = mVn/t (стр. 21 указанного журнала). Гранки мне представлены не были и долгое время я оставался в неведении. Современная редколлегия журнала, с которой я попытался контактировать в 2001, 2002 гг, не проявила должной щепетильности в отношении исправления допущенной принципиальной ошибки и, ссылаясь на давность ситуации и предположение, что она могла быть допущена мной.

*** Статья является расширенным вариантом критической статьи, направленной мной в журнал “Судебно-медицинская экспертиза” в 1958г (напечатана 1959г). Проф. М. И. Райский, которому я направил критические замечания в письмах (~ 1955) объективно отнесся к замечаниям и обещал их учесть в последующем издании Руководства, но видимо смерть в ближайшие годы (в возрасте 83-х лет) помешала ему это сделать. В этой принципиальной его позиции есть отличие от установок членов редколлегии журнала “Судебно-медицинская экспертиза”, которые отказались внести исправления (см. первую стр.). Но совершенно ясно, что в таких случаях ссылка на давность никем неисправленных ошибок не может быть приемлемой.

Литература:

1. Волегов А. И. - К вопросу о значении для повреждений скорости и высоты при падении с движущегося транспорта - Ж. “Судебно-медицинская экспертиза”, 1959, № 3, 20.
2. Райский М. И. – “Судебная медицина”, 1953 (346 стр).

Назад